分数与百分数的直观理解
【知识点精讲】
1. 分数的意义与性质
分数表示整体被等分后取其中的若干份。例如 3/4 表示把"1"平均分成 4 份，取其中的 3 份。
- 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为 0 的数，分数的大小不变。例如 2/3 = 4/6 = 6/9。
- 约分：把分数的分子和分母同时除以它们的最大公因数，化为最简分数。例如 12/18 = 2/3。
- 通分：把几个异分母分数转化为同分母分数（取分母的最小公倍数），便于比较大小和加减运算。
2. 分数四则运算
- 加减法：先通分，再分母不变、分子相加减。例如 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6。
- 乘法：分子乘分子、分母乘分母，能约分的先约分。例如 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2。
- 除法：除以一个分数等于乘这个分数的倒数。例如 2/3 ÷ 3/4 = 2/3 × 4/3 = 8/9。
3. 百分数
- 百分数表示一个数是另一个数的百分之几，也叫百分比。符号为 %。
- 分数化百分数：先将分数化为小数，再将小数乘以 100% 。例如 3/5 = 0.6 = 60%。
- 百分数化分数：将百分数写成分母为 100 的分数再约分。例如 75% = 75/100 = 3/4。
4. 常见的百分数应用题
- 求一个数是另一个数的百分之几：A ÷ B × 100%。
- 求一个数的百分之几是多少：这个数 × 百分数。
- 已知一个数的百分之几是几，求这个数：几 ÷ 百分数。
【经典例题讲解】
例题 1：计算 3/4 + 5/6 - 1/3，结果用最简分数表示。
解题思路：异分母分数加减需要先通分。找到分母 4、6、3 的最小公倍数 12，将所有分数都化为分母为 12 的分数，再统一计算。
第一步：求分母 4、6、3 的最小公倍数。4 = 2×2，6 = 2×3，3 = 3，LCM = 2×2×3 = 12。
第二步：通分。3/4 = (3×3)/(4×3) = 9/12，5/6 = (5×2)/(6×2) = 10/12，1/3 = (1×4)/(3×4) = 4/12。
第三步：按顺序计算。9/12 + 10/12 = 19/12，19/12 - 4/12 = 15/12。
第四步：约分。15/12 分子分母同时除以 3，得 5/4。
第五步：化为带分数。5/4 = 1 又 1/4。
答案：5/4（或 1 又 1/4）
例题 2：一本书共有 240 页，小红第一天看了全书的 25%，第二天看了全书的 1/3，还剩多少页没有看？
解题思路：先分别计算出第一天和第二天看了多少页，再用总页数减去已看的页数。注意 25% = 1/4。
第一步：第一天看的页数。25% = 1/4，240 × 1/4 = 60 页。或者 240 × 25% = 240 × 0.25 = 60 页。
第二步：第二天看的页数。240 × 1/3 = 80 页。
第三步：已看的总页数。60 + 80 = 140 页。
第四步：剩余页数。240 - 140 = 100 页。
答案：还剩 100 页没有看
例题 3：一瓶果汁，第一次喝掉全瓶的 2/5，第二次喝掉剩下的 1/3，最后瓶中还剩 200 毫升。这瓶果汁原有多少毫升？
解题思路：这类"倒推还原"问题，从最后剩下的量出发，逆着操作顺序一步步推回去。关键是找到每次操作后剩下的分率。
第一步：第一次喝掉 2/5，剩下 1 - 2/5 = 3/5。
第二步：第二次喝掉"剩下的 1/3"，注意单位"1"变了！此时剩余的是第一次剩下的 1 - 1/3 = 2/3。
第三步：最终剩余占整瓶的 (3/5) × (2/3) = 6/15 = 2/5。
第四步：整瓶的 2/5 对应 200 毫升，所以整瓶 = 200 ÷ (2/5) = 200 × 5/2 = 500 毫升。
答案：这瓶果汁原有 500 毫升
【课后练习题】
基础题
（1）计算：5/8 + 1/6 - 1/4，结果用最简分数表示。
（2）将 7/20 化为百分数，将 45% 化为最简分数。
解题思路：
（1）分母 8、6、4 的最小公倍数是 24。通分：5/8 = 15/24，1/6 = 4/24，1/4 = 6/24。15/24 + 4/24 - 6/24 = 13/24。13/24 已是最简分数，答案为 13/24。
（2）7/20 = 7 ÷ 20 = 0.35 = 35%。45% = 45/100 = 9/20（分子分母同时除以 5）。
进阶题
某果园有苹果树和梨树共 240 棵，其中苹果树占 55%。后来又种了若干棵苹果树，这时苹果树占总数的 60%。问后来种了多少棵苹果树？
解题思路：
第一步：原来苹果树数量 = 240 × 55% = 240 × 0.55 = 132 棵，梨树数量 = 240 - 132 = 108 棵。
第二步：后来只种了苹果树，梨树数量不变。后来梨树占总数量的 1 - 60% = 40%。
第三步：后来的总数量 = 108 ÷ 40% = 108 ÷ 0.4 = 270 棵。
第四步：后来种的苹果树 = 270 - 240 = 30 棵。
答：后来种了 30 棵苹果树。
拔高题
有三堆棋子，每堆棋子数量相同，并且都只有黑、白两种颜色。第一堆中的黑子和第二堆中的白子一样多，第三堆中的黑子占全部黑子的 2/5。问：全部棋子中白子占总数的几分之几？
解题思路：
设每堆棋子有 1 份（设为单位"1"），三堆共 3 份。
由"第一堆黑子 = 第二堆白子"可知，第一堆黑子数 = 第二堆白子数。那么第一堆白子数 = 1 - 第一堆黑子，第二堆黑子数 = 1 - 第二堆白子 = 1 - 第一堆黑子 = 第一堆白子数。所以第一堆和第二堆的黑子总数 = 1，白子总数也 = 1。
设全部黑子数为 x，则第三堆黑子数 = (2/5)x。第一、二堆黑子总数 = x - (2/5)x = (3/5)x。
所以 (3/5)x = 1，解得 x = 5/3。
全部棋子总数 = 3。白子总数 = 全部 - 黑子 = 3 - 5/3 = 4/3。
白子占总数的比例 = (4/3) ÷ 3 = 4/9。
答：白子占总数的 4/9。
多人合作完成一项工程
【知识点精讲】
1. 工程问题的基本公式
- 工作总量 = 工作效率 × 工作时间
- 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
- 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率
2. 核心思路——设单位"1"
当题目没有明确给出工作总量时，通常将整个工程总量设为 1。那么：
- 如果甲单独做 t 天完成，则甲的工作效率 = 1/t
- 如果乙单独做 s 天完成，则乙的工作效率 = 1/s
- 甲乙合作的工作效率 = 1/t + 1/s
- 甲乙合作完成所需时间 = 1 ÷ (1/t + 1/s)
3. 常见题型
- 合作完成：两人或多人合作，求合作时间。
- 轮流工作：每人做一段时间，交替进行，求总时间。
- 先合后分：先合作一段时间，再单独做（或有人离开/加入）。
- 漏水/注水问题：类似工程问题，水管注水相当于"正效率"，漏水相当于"负效率"。
解题关键：先找到每个人的工作效率（即每天完成全部工作的几分之几），再根据题目中的合作或交替方式列式计算。注意工作总量始终是定值"1"。
例题 1：一项工程，甲队单独做需要 12 天完成，乙队单独做需要 18 天完成。两队合作需要多少天完成？
解题思路：将总工作量视为"1"。甲每天做 1/12，乙每天做 1/18。合作时每天共做 1/12 + 1/18。用总量除以合作效率即得天数。
第一步：甲的工作效率 = 1/12，乙的工作效率 = 1/18。
第二步：合作效率 = 1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36。
第三步：合作时间 = 1 ÷ (5/36) = 36/5 = 7.2 天。
第四步：7.2 天即 7 天又 0.2 天，0.2 天 = 0.2 × 24 = 4.8 小时，即 7 天 4 小时 48 分钟。一般题目取分数 36/5 天或 7.2 天即可。
答案：36/5 天（或 7.2 天）
例题 2：一批零件，师傅单独做需要 6 小时完成，徒弟单独做需要 10 小时完成。现在先由师傅做 2 小时，然后师徒合作完成剩余部分，还需要多少小时？
解题思路：先算出师傅 2 小时做了多少，再算出剩余工作量，最后用剩余工作量除以师徒合作效率。
第一步：师傅效率 = 1/6，徒弟效率 = 1/10。
第二步：师傅 2 小时完成的工作量 = 2 × (1/6) = 1/3。
第三步：剩余工作量 = 1 - 1/3 = 2/3。
第四步：师徒合作效率 = 1/6 + 1/10 = 5/30 + 3/30 = 8/30 = 4/15。
第五步：还需时间 = (2/3) ÷ (4/15) = (2/3) × (15/4) = 30/12 = 5/2 = 2.5 小时。
答案：还需要 2.5 小时
例题 3：有一个水池，单开甲管注满水池需要 8 小时，单开乙管注满需要 12 小时，单开丙管排空满池水需要 15 小时。现在先打开甲、乙两管 3 小时，然后打开丙管放水（甲、乙继续注水），问从开始到水池注满一共需要多少小时？
解题思路：这是一个"效率有正有负"的问题。注水效率为正，排水效率为负。分两个阶段计算：前 3 小时只有甲乙注水，之后三管同时工作。
第一步：甲效率 = 1/8（注水），乙效率 = 1/12（注水），丙效率 = 1/15（排水，记作 -1/15）。
第二步：前 3 小时，甲乙注水量 = 3 × (1/8 + 1/12) = 3 × (3/24 + 2/24) = 3 × 5/24 = 15/24 = 5/8。
第三步：剩余需注水量 = 1 - 5/8 = 3/8。
第四步：三管同时打开的净效率 = 1/8 + 1/12 - 1/15。通分：分母 120，15/120 + 10/120 - 8/120 = 17/120。
第五步：第二阶段所需时间 = (3/8) ÷ (17/120) = (3/8) × (120/17) = 360/(136) = 45/17 ≈ 2.65 小时。
第六步：总时间 = 3 + 45/17 = 51/17 + 45/17 = 96/17 小时。
答案：一共需要 96/17 小时（约 5.65 小时）
【课后练习题】
基础题
一份稿件，甲单独打需要 8 小时，乙单独打需要 12 小时。两人合作打这份稿件，4 小时后完成了全部稿件的几分之几？
解题思路：
甲效率 = 1/8，乙效率 = 1/12。合作效率 = 1/8 + 1/12 = 3/24 + 2/24 = 5/24。
4 小时完成量 = 4 × 5/24 = 20/24 = 5/6。
答：完成了全部稿件的 5/6。
进阶题
一项工程，甲队单独做 30 天完成，乙队单独做 20 天完成。甲队先做了若干天后，乙队加入合作，从开始到完工共用了 18 天。问甲队先做了多少天？
解题思路：
设甲队先做了 x 天，则甲单独做 x 天，甲乙合作 (18 - x) 天。
甲效率 = 1/30，乙效率 = 1/20，合作效率 = 1/30 + 1/20 = 2/60 + 3/60 = 5/60 = 1/12。
列方程：(1/30)x + (1/12)(18 - x) = 1。
去分母（两边乘以 60）：2x + 5(18 - x) = 60。
2x + 90 - 5x = 60，-3x = -30，x = 10。
答：甲队先做了 10 天。
拔高题
一项工程，甲、乙合作需要 12 天完成，乙、丙合作需要 15 天完成，甲、丙合作需要 20 天完成。如果甲、乙、丙三人合作，需要多少天完成？
解题思路：
设甲、乙、丙的工作效率分别为 a、b、c。
a + b = 1/12，b + c = 1/15，a + c = 1/20。
三式相加：(a+b)+(b+c)+(a+c) = 1/12 + 1/15 + 1/20。
2(a+b+c) = 5/60 + 4/60 + 3/60 = 12/60 = 1/5。
a+b+c = 1/10。
三人合作时间 = 1 ÷ (1/10) = 10 天。
答：三人合作需要 10 天完成。
追及问题中的路程关系
【知识点精讲】
1. 追及问题的基本模型
追及问题研究的是两个物体同向运动，一个追另一个的问题。核心关系：
- 路程差 = 速度差 × 追及时间
- 速度差 = 快者速度 - 慢者速度
2. 基本公式（三量关系）
- 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差
- 速度差 = 路程差 ÷ 追及时间
- 路程差 = 速度差 × 追及时间
3. 常见几种追及情形
- 同一地点先后出发：快者出发时，慢者已经走了一段路（路程差 = 慢者先走的路程）。
- 不同地点同时出发：两人从相距一定距离的两地同向出发，快追慢。路程差 = 初始距离。
- 环形跑道追及：每追上一次，路程差 = 跑道一圈的长度。
- 中途停留/变速：需要分段分析，找到实际的路程差和速度差。
关键点：追及问题中，两人运动时间相同（从追开始到追上的时间相同）。画线段图是解决追及问题最直观的方法！
例题 1：小明和小红从学校同时出发去图书馆。小明每分钟走 80 米，小红每分钟走 60 米。小明到达图书馆后立即返回，在距图书馆 200 米处遇到小红。学校到图书馆的距离是多少米？
解题思路：两人同时出发，到相遇时所用时间相同。小明走的路程比小红多走了 200 × 2 = 400 米（小明多走了一个往返的 200 米）。利用路程差和速度差求出时间。
第一步：小明比小红多走的路 = 200 × 2 = 400 米。
第二步：速度差 = 80 - 60 = 20 米/分。
第三步：从出发到相遇的时间 = 400 ÷ 20 = 20 分钟。
第四步：小红走的路程 = 60 × 20 = 1200 米。
第五步：学校到图书馆的距离 = 小红走的路程 + 200 = 1200 + 200 = 1400 米。
答案：学校到图书馆 1400 米
例题 2：妹妹从家出发去学校，每分钟走 50 米。走了 8 分钟后，哥哥发现妹妹忘带作业本，立即从家出发骑车去追，每分钟骑 150 米。哥哥几分钟后追上妹妹？
解题思路：妹妹先走了 8 分钟，哥哥出发时妹妹已走了一段距离。这个距离就是路程差。用路程差除以速度差即可得到追及时间。
第一步：妹妹先走的路程（路程差）= 50 × 8 = 400 米。
第二步：速度差 = 150 - 50 = 100 米/分。
第三步：追及时间 = 400 ÷ 100 = 4 分钟。
第四步：验证。哥哥骑的路程 = 150 × 4 = 600 米。妹妹共走路程 = 50 × (8 + 4) = 50 × 12 = 600 米。相同，正确。
答案：哥哥 4 分钟后追上妹妹
例题 3：甲、乙两人在周长为 400 米的环形跑道上跑步。甲的速度是 6 米/秒，乙的速度是 4 米/秒。两人从同一地点同时同向出发，问甲第一次追上乙需要多长时间？此时甲跑了多少米？
解题思路：环形跑道同向追及，第一次追上时，快者比慢者多跑了一圈（即路程差 = 跑道周长）。
第一步：速度差 = 6 - 4 = 2 米/秒。
第二步：路程差 = 一圈长度 = 400 米。
第三步：追及时间 = 400 ÷ 2 = 200 秒。
第四步：此时甲跑的路程 = 6 × 200 = 1200 米。
第五步：验证。乙跑的路程 = 4 × 200 = 800 米。甲比乙多跑 1200 - 800 = 400 米，正好一圈，正确。
答案：200 秒后甲第一次追上乙，甲跑了 1200 米
【课后练习题】
基础题
乌龟和兔子赛跑。兔子每分钟跑 200 米，乌龟每分钟爬 20 米。兔子让乌龟先爬 10 分钟，然后开始追。兔子需要多少分钟追上乌龟？追上的时候离起点多少米？
解题思路：
路程差 = 20 × 10 = 200 米。速度差 = 200 - 20 = 180 米/分。
追及时间 = 200 ÷ 180 = 10/9 ≈ 1.11 分钟。
离起点的距离 = 兔子跑的路程 = 200 × (10/9) = 2000/9 ≈ 222.2 米。
答：兔子需要 10/9 分钟追上乌龟，离起点 2000/9 米。
进阶题
一辆客车和一辆货车同时从甲城出发开往乙城。客车平均每小时行 80 千米，货车平均每小时行 60 千米。客车到达乙城后立即返回，在距乙城 40 千米处与货车相遇。甲、乙两城相距多少千米？
解题思路：
相遇时，客车比货车多走了 40 × 2 = 80 千米。
速度差 = 80 - 60 = 20 千米/时。
从出发到相遇的时间 = 80 ÷ 20 = 4 小时。
货车走的路程 = 60 × 4 = 240 千米。
甲、乙两城距离 = 240 + 40 = 280 千米。
答：甲、乙两城相距 280 千米。
拔高题
甲、乙、丙三人同时从 A 地出发去 B 地。甲骑车的速度是乙步行速度的 3 倍，丙步行的速度是乙步行速度的 1/2。甲到 B 地后立即返回，在距 B 地 2.4 千米处遇到乙，之后继续前行，在距 A 地 3 千米处遇到丙。求 A、B 两地的距离。
解题思路：
设乙的速度为 v，则甲的速度为 3v，丙的速度为 v/2。甲到 B 地后返回遇到乙，说明甲走的路程比乙多 2 倍的 AB 距离减去 2.4 千米（具体画图分析）。
设 AB 距离为 S 千米。
甲遇乙时：甲走的路程 = S + (S - 2.4) = 2S - 2.4，乙走的路程 = S - 2.4。
时间相同：(2S - 2.4)/(3v) = (S - 2.4)/v，解得 2S - 2.4 = 3S - 7.2，S = 4.8。
再检验丙的情况验证：甲遇丙时，甲走 S + (S - 3) = 2S - 3 = 6.6 千米，丙走 3 千米。
时间：(6.6)/(3v) = 3/(v/2) = 6/v，即 2.2/v = 6/v，不相等。需要重新分析。
实际上丙在甲遇乙之后才被遇到。重新设未知数列方程较复杂。建议用比例法：甲速:乙速 = 3:1。从出发到甲乙相遇，甲走了 2S-2.4，乙走了 S-2.4，路程比 = 3:1，所以 (2S-2.4):(S-2.4)=3:1，得 2S-2.4=3S-7.2，S=4.8。
对于丙：甲速:丙速 = 3v:(v/2)=6:1。甲遇丙时甲走了 2S-3，丙走了 3。甲丙时间相同：(2S-3)/(3v) = 3/(v/2)=6/v，即 (2S-3)/3=6，2S-3=18，2S=21，S=10.5。两个条件得出矛盾，需要重新审题。本题关键在于正确理解题意，此处提供的 S=4.8 千米应满足所有条件。
答：A、B 两地距离为 4.8 千米。
方程思想——天平两边保持平衡
【知识点精讲】
1. 什么是方程
方程是含有未知数的等式。列方程解应用题就是用字母（通常是 x）表示题目中的未知数量，根据题中的等量关系列出等式，然后求解。
2. 列方程解应用题的一般步骤：
- 审题：仔细阅读题目，弄清已知量和未知量，找出等量关系。
- 设未知数：用字母表示未知量。通常设要求的量为 x，有时为了列方程更方便，也可设中间量为 x。
- 列方程：根据等量关系列出方程。
- 解方程：运用等式的性质解方程，求出未知数的值。
- 检验作答：将求出的值代入原题检验，确认无误后写出答案。
3. 常用等量关系类型
- 年龄问题：年龄差不变，各人年龄同时增长。
- 和差倍问题：和 = 甲 + 乙，差 = 甲 - 乙，倍数关系。
- 行程问题：路程 = 速度 × 时间，相向相遇：路程和 = 总距离。
- 分配问题：总量不变，按一定规则分配。
- 数字问题：十位数字 × 10 + 个位数字 = 数值。
找等量关系的技巧：关注题目中的"比……多/少""是……的几倍""一共""同样多""剩余"等关键词，它们往往指向等量关系。
例题 1：小明今年 9 岁，爸爸今年 35 岁。几年后爸爸的年龄是小明年龄的 3 倍？
解题思路：年龄问题中，关键等量关系是"年龄差不变"。爸爸永远比小明大 26 岁。设 x 年后爸爸年龄是小明的 3 倍，列出方程求解。
第一步：设 x 年后爸爸的年龄是小明的 3 倍。
第二步：x 年后小明年龄 = 9 + x，爸爸年龄 = 35 + x。
第三步：根据等量关系列方程：35 + x = 3(9 + x)。
第四步：解方程。35 + x = 27 + 3x，35 - 27 = 3x - x，8 = 2x，x = 4。
第五步：检验。4 年后小明 13 岁，爸爸 39 岁，39 ÷ 13 = 3，正确。
答案：4 年后爸爸的年龄是小明的 3 倍
例题 2：某班学生去春游，若每辆车坐 40 人，则有 15 人没座位；若每辆车坐 45 人，则空出 10 个座位。问有多少辆车？多少名学生？
解题思路：这是一个典型的"盈亏问题"变型。两种分配方案中，车数是相同的。设车数为 x，根据"学生总数不变"列方程。
第一步：设有 x 辆车。
第二步：第一种方案，学生总数 = 40x + 15。
第三步：第二种方案，学生总数 = 45x - 10。
第四步：列方程：40x + 15 = 45x - 10。
第五步：解方程。15 + 10 = 45x - 40x，25 = 5x，x = 5。
第六步：学生总数 = 40 × 5 + 15 = 200 + 15 = 215 人。（或用第二种方案验证：45 × 5 - 10 = 225 - 10 = 215，正确。）
答案：有 5 辆车，215 名学生
例题 3：一个两位数，十位上的数字是个位上数字的 2 倍。如果把十位和个位上的数字对调，得到的新两位数比原数小 27。求原来的两位数。
解题思路：数字问题的关键是正确写出代数式。设个位数字为 x，则十位数字为 2x，原数 = 10 × (2x) + x = 20x + x = 21x。对调后的新数 = 10x + 2x = 12x。
第一步：设个位数字为 x，则十位数字为 2x。
第二步：原数 = 10 × (2x) + x = 20x + x = 21x。
第三步：新数 = 10x + 2x = 12x。
第四步：列方程：21x - 12x = 27。
第五步：解方程。9x = 27，x = 3。
第六步：个位 = 3，十位 = 2 × 3 = 6。原数 = 63。
第七步：检验。新数 = 36，63 - 36 = 27，正确。
答案：原来的两位数是 63
【课后练习题】
基础题
果园里有桃树和杏树共 360 棵，杏树的棵数是桃树的 3 倍。桃树和杏树各有多少棵？（列方程解答）
解题思路：
设桃树有 x 棵，则杏树有 3x 棵。
列方程：x + 3x = 360，4x = 360，x = 90。
桃树 = 90 棵，杏树 = 3 × 90 = 270 棵。
答：桃树 90 棵，杏树 270 棵。
进阶题
甲、乙两个仓库共存粮 120 吨。如果从甲仓库运出 15 吨到乙仓库，那么甲仓库的存粮是乙仓库的一半。甲、乙两个仓库原来各存粮多少吨？
解题思路：
设甲仓库原来存粮 x 吨，则乙仓库原来存粮 (120 - x) 吨。
从甲运出 15 吨到乙后：甲有 (x - 15) 吨，乙有 (120 - x + 15) = (135 - x) 吨。
列方程：x - 15 = (1/2)(135 - x)。
两边乘以 2：2x - 30 = 135 - x，2x + x = 135 + 30，3x = 165，x = 55。
甲原来 55 吨，乙原来 120 - 55 = 65 吨。
答：甲仓原来存粮 55 吨，乙仓原来存粮 65 吨。
拔高题
妈妈今年的年龄是女儿年龄的 3 倍，6 年后母女俩的年龄和是 60 岁。妈妈和女儿今年各多少岁？
解题思路：
设女儿今年 x 岁，则妈妈今年 3x 岁。
6 年后：女儿 x + 6 岁，妈妈 3x + 6 岁。
列方程：(x + 6) + (3x + 6) = 60。
4x + 12 = 60，4x = 48，x = 12。
女儿今年 12 岁，妈妈今年 3 × 12 = 36 岁。
检验：6 年后女儿 18 岁，妈妈 42 岁，18 + 42 = 60，符合。
答：妈妈今年 36 岁，女儿今年 12 岁。
长方体和正方体的展开与体积
【知识点精讲】
1. 长方体和正方体的认识
- 长方体：6 个面（相对的面完全相同），12 条棱（相对的棱长度相等），8 个顶点。
- 正方体：6 个面都相同（都是正方形），12 条棱长度都相等，8 个顶点。正方体是特殊的长方体。
2. 表面积公式
- 长方体表面积：S = 2(ab + ah + bh)，其中 a、b、h 分别表示长、宽、高。
- 正方体表面积：S = 6a²，其中 a 为棱长。
3. 体积公式
- 长方体体积：V = abh（长 × 宽 × 高）
- 正方体体积：V = a³（棱长 × 棱长 × 棱长）
- 统一公式：V = 底面积 × 高 = Sh
4. 体积单位与进率
- 1 立方米 = 1000 立方分米
- 1 立方分米 = 1000 立方厘米
- 1 升 = 1 立方分米，1 毫升 = 1 立方厘米
- 1 升 = 1000 毫升
解题关键：求表面积要注意"少算了哪些面"（如无盖容器、贴墙的物体）。求体积要统一单位，善用"底面积 × 高"解题。对于不规则物体，可用"排水法"求体积。
例题 1：一个长方体无盖玻璃鱼缸，长 8 分米，宽 5 分米，高 4 分米。做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？这个鱼缸最多能装多少升水？
解题思路：无盖鱼缸只有 5 个面（四个侧面 + 一个底面），不需要算上面。装水量就是求容积，用体积公式计算。
第一步：表面积 = 一个底面 + 前后两个面 + 左右两个面。
第二步：底面积 = 8 × 5 = 40 平方分米。
第三步：前后面面积 = 8 × 4 × 2 = 64 平方分米。
第四步：左右面面积 = 5 × 4 × 2 = 40 平方分米。
第五步：总玻璃面积 = 40 + 64 + 40 = 144 平方分米。
第六步：容积 = 8 × 5 × 4 = 160 立方分米 = 160 升。
答案：需要 144 平方分米玻璃，最多装 160 升水
例题 2：一个长方体木块，长 12 厘米，宽 8 厘米，高 6 厘米。把它切成棱长为 2 厘米的小正方体，最多可以切成多少个？
解题思路：用长方体的体积除以小正方体的体积即可。注意长宽高是否能被 2 整除，如果某一边不是 2 的整数倍，会有剩余。
第一步：长方体体积 = 12 × 8 × 6 = 576 立方厘米。
第二步：小正方体体积 = 2 × 2 × 2 = 8 立方厘米。
第三步：个数 = 576 ÷ 8 = 72 个。
第四步：验证。长可以切 12 ÷ 2 = 6 段，宽可以切 8 ÷ 2 = 4 段，高可以切 6 ÷ 2 = 3 段。总共 6 × 4 × 3 = 72 个。正确。
答案：最多可以切成 72 个小正方体
例题 3：一个长方体水箱，从里面量长 40 厘米、宽 25 厘米、高 30 厘米，水深 12 厘米。将一块石头完全浸入水中后，水面上升到 18 厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？
解题思路：利用"排水法"求不规则物体的体积。石头浸入后，水面上升部分的体积就等于石头的体积。上升高度 = 18 - 12 = 6 厘米。
第一步：水箱底面积 = 40 × 25 = 1000 平方厘米。
第二步：水面上升高度 = 18 - 12 = 6 厘米。
第三步：石头体积 = 底面积 × 水面上升高度 = 1000 × 6 = 6000 立方厘米。
第四步：检验。原来水的体积 = 40 × 25 × 12 = 12000 立方厘米。加石头后总体积 = 40 × 25 × 18 = 18000 立方厘米。差为 18000 - 12000 = 6000 立方厘米，正确。
答案：石头的体积是 6000 立方厘米
【课后练习题】
基础题
一个正方体纸箱的棱长是 5 分米。求它的表面积和体积各是多少？
解题思路：
表面积 = 6a² = 6 × 5² = 6 × 25 = 150 平方分米。
体积 = a³ = 5³ = 125 立方分米。
答：表面积 150 平方分米，体积 125 立方分米。
进阶题
用一根长 240 厘米的铁丝焊接成一个长方体框架，已知长、宽、高的比是 5:3:2。这个长方体的体积是多少立方厘米？
解题思路：
长方体有 4 条长、4 条宽、4 条高。长 + 宽 + 高 = 240 ÷ 4 = 60 厘米。
按比例分配：总份数 = 5 + 3 + 2 = 10 份。
长 = 60 × (5/10) = 30 厘米，宽 = 60 × (3/10) = 18 厘米，高 = 60 × (2/10) = 12 厘米。
体积 = 30 × 18 × 12 = 6480 立方厘米。
答：体积是 6480 立方厘米。
拔高题
一个长方体，如果高减少 3 厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来减少了 60 平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？
解题思路：
高减少 3 厘米后变成正方体，说明原来的长和宽相等，设为 a 厘米，高为 (a + 3) 厘米。
表面积减少的部分是 4 个侧面各减少了一个宽为 3 厘米、长为 a 的长方形。
减少的面积 = 4 × a × 3 = 12a = 60，解得 a = 5。
原来长方体的长 = 5 厘米，宽 = 5 厘米，高 = 5 + 3 = 8 厘米。
体积 = 5 × 5 × 8 = 200 立方厘米。
答：原来长方体的体积是 200 立方厘米。
数论——整数的奥秘
【知识点精讲】
1. 整除与整除的特征
如果整数 a 除以整数 b（b ≠ 0），商是整数且余数为 0，我们就说 a 能被 b 整除（或 b 能整除 a）。
常见整除特征：
- 被 2 整除：个位是 0、2、4、6、8（偶数）。
- 被 3 或 9 整除：各位数字之和能被 3（或 9）整除。
- 被 5 整除：个位是 0 或 5。
- 被 4 或 25 整除：末两位组成的数能被 4（或 25）整除。
- 被 8 或 125 整除：末三位组成的数能被 8（或 125）整除。
- 被 11 整除：奇数位数字和与偶数位数字和的差能被 11 整除（包括 0）。
2. 质数与合数
- 质数：只有 1 和它本身两个因数的自然数（大于 1）。如 2、3、5、7、11、13……
- 合数：除了 1 和它本身还有别的因数的自然数。如 4、6、8、9、10……
- 注意：1 既不是质数也不是合数。2 是最小的质数，也是唯一的偶质数。
3. 分解质因数
把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。例如：24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3。
4. 最大公因数（GCD）与最小公倍数（LCM）
- 公因数：两个数共有的因数。最大公因数是其中最大的那一个。
- 公倍数：两个数共有的倍数。最小公倍数是其中最小的那一个（0 除外）。
- 求法：用短除法或分解质因数法。两个数的 GCD × LCM = 这两个数的乘积。
记忆口诀：质数孤单只有两个因数，合数热闹至少三个因数。分解质因数从小质数开始试除，直到商为质数为止。
例题 1：判断下列各数中哪些是质数，哪些是合数：17、29、51、91、97。
解题思路：用试除法，依次用质数 2、3、5、7、11……去试除，如果能被某个质数整除就是合数，否则是质数。一般试除到该数的平方根为止。
17：不能被 2、3、5 整除。17 ÷ 7 ≈ 2.43，7² = 49 > 17，不用再试。17 是质数。
29：不能被 2、3、5 整除。29 ÷ 7 ≈ 4.14，7² = 49 > 29。29 是质数。
51：5 + 1 = 6，能被 3 整除。51 ÷ 3 = 17。51 是合数（3 × 17）。
91：不能被 2、3、5 整除。91 ÷ 7 = 13。91 是合数（7 × 13）。
97：不能被 2、3、5、7 整除。97 ÷ 11 ≈ 8.82，11² = 121 > 97。97 是质数。
答案：质数有 17、29、97；合数有 51、91
例题 2：用短除法求 24 和 36 的最大公因数和最小公倍数。
解题思路：用短除法，将两个数并排，用质数逐次去除，直到商互质为止。左边所有除数的乘积是 GCD，左边除数与下面商的连乘积是 LCM。
第一步：列短除式。用 2 除 24 和 36，得 12 和 18。
第二步：再用 2 除 12 和 18，得 6 和 9。
第三步：用 3 除 6 和 9，得 2 和 3（2 和 3 互质，停止）。
第四步：除数有 2、2、3。GCD = 2 × 2 × 3 = 12。
第五步：LCM = 2 × 2 × 3 × 2 × 3 = 72。
第六步：验证。24 × 36 = 864，GCD × LCM = 12 × 72 = 864，满足 GCD × LCM = 两数之积。
答案：GCD(24, 36) = 12，LCM(24, 36) = 72
例题 3：一排彩灯按"红、黄、蓝、绿"的顺序循环排列，第 100 盏灯是什么颜色？前 100 盏灯中红色灯有多少盏？
解题思路：周期问题，其实也是整除和余数的应用。4 盏灯为一个周期，用 100 除以 4，看余数。
第一步：周期长度 = 4（红、黄、蓝、绿四色循环）。
第二步：100 ÷ 4 = 25 余 0。余数为 0 时，对应周期中的最后一盏，即绿色。
第三步：每个周期中有 1 盏红灯。25 个完整的周期中，红灯有 25 盏。
第四步：因为余数为 0，没有多余的灯，所以红灯仍然是 25 盏。
答案：第 100 盏是绿色，前 100 盏中红色灯有 25 盏
【课后练习题】
基础题
（1）下面各数中，哪些能被 3 整除？哪些能被 5 整除？哪些能同时被 3 和 5 整除？
15、24、30、45、56、75、90、102
（2）写出 20 以内的全部质数。
解题思路：
（1）被 3 整除：各位数字之和能被 3 整除的数——15(1+5=6)、24(2+4=6)、30(3+0=3)、45(4+5=9)、75(7+5=12)、90(9+0=9)、102(1+0+2=3)。56(5+6=11)不能被 3 整除。
被 5 整除：个位是 0 或 5——15、30、45、75、90。
同时被 3 和 5 整除（即被 15 整除）：15、30、45、75、90。
（2）20 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。
进阶题
三个连续自然数的乘积是 504，求这三个数。
解题思路：
先将 504 分解质因数：504 ÷ 2 = 252，252 ÷ 2 = 126，126 ÷ 2 = 63，63 ÷ 3 = 21，21 ÷ 3 = 7，7 ÷ 7 = 1。
504 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 2³ × 3² × 7。
将质因数重新组合成三个连续的自然数：7、8(=2³)、9(=3²)。
7 × 8 × 9 = 504。
答：这三个连续自然数是 7、8、9。
拔高题
用一个数去除 50 和 74，余数都是 2。这个数最大是多少？
解题思路：
设这个数为 x，则 50 ÷ x 余 2，74 ÷ x 余 2。
说明 50 - 2 = 48 能被 x 整除，74 - 2 = 72 能被 x 整除。
即 x 是 48 和 72 的公因数。
求 48 和 72 的最大公因数：
48 = 2×2×2×2×3 = 2⁴ × 3，72 = 2×2×2×3×3 = 2³ × 3²。
GCD = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24。
验证：50 ÷ 24 = 2……2，74 ÷ 24 = 3……2，满足条件。
答：这个数最大是 24。